2 Introdução
Diversas áreas do conhecimento buscam conhecer o número de elementos em uma dada população. Na ecologia, por exemplo, o monitoramento do número de animais em uma determinada região é de suma importância no estudo e conservação da espécie Seber et al. (1982),McCrea e Morgan (2014). Na área da saúde, é necessário avaliar a quantidade de indivíduos com uma determinada característica (doença, usuários de droga, …) em uma cidade para promover políticas públicas e sociais Bird e King (2018),Böhning et al. (2020). Por outro lado, a confiabilidade de um software está relacionada ao número de erros (falhas) que ele apresenta Basu e Ebrahimi (2001).
Entretanto, na maioria das aplicações é impraticável observar todos os elementos da população devido à dificuldade operacional como, dentre outros fatores, populações esquivas, excessivo tempo para execução ou alto custo financeiro. Nestes casos, procedimentos estatísticos inferenciais são necessários para obter estimativas para os parâmetros populacionais e o método de captura-recaptura (CR) mostra-se uma técnica de amostragem útil e robusta.
Resumidamente, o método de captura-recaptura consiste em selecionar elementos desta população em diferentes ocasiões de amostragem. Na primeira ocasião, uma amostra é retirada, os elementos capturados recebem uma marca e, em seguida, todos são devolvidos à população. Após um certo período de tempo, é selecionada uma segunda amostra e realizada a contagem dos elementos marcados (recapturas), e aqueles não marcados recebem uma marca, e todos são devolvidos à população. Este procedimento é repetido em \(k\) \((k\geq2)\) ocasiões de amostragem, e em cada ocasião é realizada a contagem do número de elementos selecionados e daqueles previamente marcados, feita a marcação dos elementos não marcados e todos são devolvidos à população. No final do processo faz-se a inferência sobre os parâmetros populacionais baseada no número de elementos capturados e recapturados Otis et al. (1978),Rodrigues, Bolfarine, e Galvão Leite (1988),Oliveira e Silva (2007),Salasar (2011),Wang et al. (2015)}.
A utilização da técnica de captura-recaptura para estimar o tamanho de uma população pode ser melhor compreendida com um exemplo simples. Considere que \({N}\) é o tamanho da população a ser estimada e \(n_1\) é o total de animais capturados na primeira época de captura, sendo todos marcados e devolvidos à população. Logo, nesta população, temos uma proporção \(n_1/N\) de animais marcados. Considere que na segunda época de captura tenhamos \(n_2\) animais capturados, dos quais \(m\) estejam marcados. A ideia é estimar a proporção de marcados da população (\(n_1/N\)) pela proporção de marcados na segunda amostra (\(m/n_2\)), isto é, \[\widehat{\left(\dfrac{n_1}{N}\right)} = \dfrac{m}{n_2}\] onde, resolvendo-se em \(N\), tem-se um estimador \(\hat{N}\) para o tamanho populacional, dado por
\[\hat{N} = \dfrac{n_1 n_2}{m}\]
Na literatura, este estimador é conhecido como estimador de Lincoln-Petersen, em referência aos primeiros pesquisadores a empregarem este método na ecologia, o dinamarquês Petersen (1896), em seu estudo sobre o fluxo migratório de peixes do mar Báltico e Lincoln (1930), ao estimar o tamanho da população de patos selvagens na América do Norte. Contudo, este método foi proposto inicialmente por Laplace (1783) para estimar o tamanho da população francesa.
Atualmente, diversos modelos de captura-recaptura são encontrados na literatura para as mais diversas aplicações. Embora tenha-se maior volume de trabalhos com aplicação na ecologia para a estimação de abundâncias de populações animais McCrea e Morgan (2014),Royle et al. (2013), o método pode ser aplicado em outras áreas do conhecimento. Citamos o trabalho de Polonsky et al. (2021) como um exemplo de aplicação na epidemiologia, onde se buscou estimar a prevalência de Ebola via integridade do rastreamento de contatos durante o surto na República Democrática do Congo, entre os anos de 2018 e 2020. Nas àreas de políticas públicas e sociais, Ryngelblum e Peres (2021) empregaram um estudo sobre a análise da qualidade dos dados das mortes cometidas por policiais no município de São Paulo, Brasil, entre os anos de 2014 e 2015. Outro exemplo é um estudo onde foi possível identificar a má conduta das instituições financeiras e seus funcionários no Reino Unido entre 2004 e 2016 apresentado por Ashton et al. (2021).
2.1 Objetivos
O método de captura-recaptura vêm sendo aplicado nas mais diversas áreas do conhecimento e, por isso, o objetivo principal deste projeto é estudar essa metodologia de amostragem e a modelagem estatística para os dados provenientes desta técnica. Com relação à modelagem, temos os seguintes objetivos específicos para o projeto:
estudar dois tradicionais modelos estatísticos de captura-recaptura da literatura: \(M_t\) e \(M_{tb}\) Otis et al. (1978);
discutir métodos de estimação dos parâmetros desses modelos e aplicá-los em dados reais da literatura para exemplificar a metodologia;
apresentar um estudo de simulação para avaliar a performance dos estimadores.